Dejando de lado la ortografía que me ha hecho que me sangren los ojos, minipunto y punto para el que diga por que funciona esto para los números entre el 40 y el 49 incluidos ;)
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Y entonces Dios vio que el mundo que había creado era demasiado simple y comprensible. Fue entonces cuando Dios creó las integrales impropias. Solo por joder.
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| — | Ezequiel 25-17 |
Sobre Blackjack y contar cartas.
Los que hayáis visto la película 21 blackjack os habréis percatado de que contar cartas es casi un arte y tiene algo más por detrás que parece a primera vista pero, ¿Cómo se cuentan cartas? Vamos a hacer una aproximación relativamente básica a ese hecho en este post.
Este post viene en base a una pregunta que hicieron hace unos días un anon (del cual la verdad no he vuelto a tener noticias… no se ni siquiera si todavía nos lee xD! (si todavía nos lee le pediría que nos dejara una forma de contactar con el, ya sea msn, alguna red social o algo así para hablar sobre este tema porque me interesa)).
Para hacer un primer acercamiento en el problema y que lo entiendan los que no sepan contar cartas en el blackjack (y así aprendéis y así les podéis ganar unas perras a vuestros amigos :P) Partiremos de la base de que el que lo lee sabe jugar al blackjack, cosa no muy complicada, la verdad.
Aquí vamos a mostrar el llamado Sistema de conteo Hi/Lo (High-Low). Este es, empezando desde 0, para carta que sale haremos el siguiente cambio al a cuenta:
Sumamos 1 en cartas bajas: 2, 3, 4, 5, 6
Restamos 1 en cartas altas: 10, J, Q, K, As
No variamos la cuenta en cartas medias: 7, 8, 9
Explicación rápida del método:
Esto se hace así dado que las cartas del 2 al 6 son las mejores para el casino dado que hace que las manos “muertas” (12-16) en las que el casino debe pedir carta se conviertan en manos buenas. Así una cuenta positiva implica que hay una mayor proporción de 10-As lo cual hace que las oportunidades de BlackJack (que se paga 3 a 2) aumentan y en las situaciones que hay que doblar/dividir hay una mayor probabilidad de que salga una carta alta.
Este método es para conteos con una sola baraja, luego presentaremos el de conteos para varias barajas (que es como se juega en los casinos normalmente).
Así pues, la pregunta que hizo el anon fue:
Dada una cantidad de cartas \(n\) ¿cuál es la probabilidad de que la cuenta alcance el valor \(k\)?
Primero habremos de hacer notar que el hecho de que la cuenta sea positiva o negativa no influye en nada. Esto es, la probabilidad de que salga k o -k es la misma dado que hay la misma cantidad de elementos que suman 1 que los que restan 1 a la cuenta.
No voy a poner el desarrollo teórico que hay debajo de las fórmulas (si alguien lo pide se lo puedo pasar por privado).
Nota: Escribiremos como \(\lfloor x \rfloor \) a la función que nos da la parte entera de un numero, por ejemplo \(\lfloor 3.2 \rfloor = 3 \) o \(\lfloor 2.8 \rfloor = 2 \).
La fórmula que da esta probabilidad es:
\[ P(n, k) = \sum_{i = 0}^{\lfloor\frac{n-k}{2}\rfloor}{\frac{5^{2i+k}·3^{n-2i-k}}{13^n·(k+i)!·(i)!·(n-2i-k)!}} \]
siendo \(n\) el número de cartas que han salido y \(k\) el valor de la cuenta del que se quiere saber la probabilidad.
Como he dicho antes, esta es la forma para contar en juegos con un sólo mazo, pero lo normal es jugar con varios mazos a la vez. En este caso se cuenta igual que en el anterior, con los mismos valores, pero a ese valor le llamaremos cuenta corriente. La llamada cuenta real sale de dividir el valor de la cuenta corriente entre el número de mazos que quedan por jugar. Para ello llamaremos \(B\) al número de barajas con las que se juegan. Con todo esto la fórmula quedaría como:
\[ P(n, k) = \frac{1}{B-\lfloor \frac{n+26}{52}\rfloor}\sum_{i = 0}^{\lfloor\frac{n-k}{2}\rfloor}{\frac{5^{2i+k}·3^{n-2i-k}}{13^n·(k+i)!·(i)!·(n-2i-k)!}} \]
para cuando queda más de una baraja dado que cuando queda una baraja se tiene como contar en la primera fórmula expuesta dado que la cuenta corriente es igual a la cuenta real.
Y con esto ya sabéis como contar cartas en el blackjack y una fórmula que no se muy bien para que sirve, pero que ha estado entretenida de deducir ^^
