¡Aviso! No necesitas ningún nivel previo de matemáticas para entender esto ni va a ser como la matemática que se enseña en el instituo. Lo prometo. Es simplemente un texto sobre algo que me ha parecido sorprendástico.

Como hago siempre que encuentro algo que me parece extremadamente chulo en matemáticas, voy a escribir un poquito sobre ello. Por eso y por que no tengo ganas de ponerme a estudiar ahora mismo. En un rato ya si eso estudio algo.

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Esto es, vamos a hablar sobre cosas que no se pueden medir, esto es, conjuntos que no se pueden medir. Pero con que no se pueden medir no me refiero que es porque sean infinitos, como pueden ser todos los números naturales \(\left( 0, 1, 2, … \right)\). Estas cosas de las que vamos a hablar son simplemente cachos de algo que si que se puede medir.

Por ejemplo, tu tienes tu goma que mide \(1\text{ x }3\text{ x }3 \text{ cm}\) con lo que tiene un volumen de \(9 \text{ cm}^3\). Un conjunto no medible sería un cacho de esa goma que cogemos y que simplemente no tiene un volumen definido. Su volumen no es \(0\), ni \(1\), ni \(1.583\), ni…

Vale, eso es raro.

Lo que sería obvio ahora es que pusiera un ejemplo, como con un dibujo o similares, supongo. Lo malo es que este tipo de, digamos, conjuntos no medibles, son, como tantas cosas en matemáticas, entes que se han demostrado que existen pero no se pueden representar.

Todo esto se mostró en la más que extraña Paradoja de Banach Tarski. Esta dice que:

Es posible partir una esfera (rellena) de radio \(1\) en \(8\) partes de tal forma que con \(5\) de esas partes es posible crear una esfera igual a la inicial y con las otras \(3\) otra también igual a la inicial.

Efectivamente. Este teorema dice que, suponiendo que pudiesemos hacer esto en la realidad, podríamos partir una naranja en \(8\) cachos y reordenándolos, obtener \(2\) naranjas iguales a la inicial.

…

Si, esto está probado matemáticamente. Y no, no es una demostración de esas con trampa en las que se demuestra que \(1 = 2\).

¿Cual es el problema entonces? ¿Por qué no podemos hacernos ricos duplicando bolas de radio 1 de oro?

El problema reside en algunas de las partes en las que tenemos que cortar la naranja son estos extraños conjuntos no medibles, de los que hablábamos antes. Extrañas propiedades para ser un simple cacho de naranja.

De hecho de la paradoja de Banach-Tarski no se sigue exactamente que existan este extraño tipo de conjuntos, sino que, si queremos definir lo que es un volumen en \(3\) dimensiones una de estas 4 afirmaciones ha de ser cierta:

1. El volumen de un conjunto quizá varíe al rotarlo.

Vale. Esto no parece que tenga mucho sentido dado que, por definición, una rotación conserva el tamaño. Intuitivamente, una rotación solo cambia de sitio las cosas, ¡no tiene nada que ver con su volumen!

2. El volumen de la unión de dos conjuntos disjuntos puede no ser la suma de los volúmenes iniciales.

Esto es, dados dos conjuntos sin elementos en común es de esperar que si juntamos sus volúmenes, dado que no tienen elementos en común, lo que tengamos sea la suma de sus volúmenes. No parece que fuera intuitivo lo contrario, ¿no?

3. Existen este tipo de conjuntos no medibles y que no tienen un volumen definido.

La cuarta afirmación es demasiado técnica para hablar sobre ella aquí, pero quedaos con que es una afirmación aceptada por la mayoría de los matemáticos.

Así pues lo aceptado por la mayoría de la comunidad matemática es que existen este tipo de extraños conjuntos.

Venga, va, ahora la pregunta que todos os estáis haciendo:

¿Y esto pa’ que vale?

En verdad toda la teoría de la probabilidad (si, esa que dice que la probabilidad de que una moneda salga cara es \(\frac{1}{2}\)) se basa en la medida y cuánto miden determinados conjuntos llamado conjuntos borelianos.

Cosa que me tengo que marchar ahora mismo a estudiar, que bastante he perdido el tiempo escribiendo esto y el miércoles tengo examen.

Espero que os hayan gustado o al menos sorprendido como a mi cuando descubrí de su existencia.

Extra enviado por ñú. Un video super chulo y grasioso sobre la paradoja de Banach-Tarski: